中学生でもわかる相対性理論!

こんにちは、沙耶です。この記事を読んでいる人は、おそらく相対性理論でググッたことのある人でしょう。そういう人は光時計の思考実験を知っていますよね。そこでこの記事では、光時計を例にどれだけ時空が歪むのか義務教育の数学だけを使って計算していこうと思います。

光時計って?

相対性理論とは、光速が一定であること誰から見ても同じ物理法則があることを前提とした理論です。逆に言うと時間や空間が伸びたり縮んだりすることは気にしません。そんな歪んだ世界で絶対に狂わない時計として考えるのが光時計です。

光時計は向かい合わせにした鏡の間を光が往復するだけの装置です。光速は変わらないため光が一往復する時間も変わらないというわけです。この絶対に狂わない時計が狂えば、時間が歪んでいると考えて間違いありませんよね。

動いていると時間が遅れる?

電車の中と地上にに長さLの光時計を置きます。光は上下に往復し、電車は右向きに速度vで進んでいきます。光の速さはcと表します。図では黄色の矢印で光の軌跡を描いています。

地上で地上に置いてある光時計を見ると、一往復する時間tは距離÷速さだからとなります。
一方、地上から電車の中の光時計を見るときの一往復する時間をt’とすると、三平方の定理から
上の二つの式から、電車の中の時間は地上の時間の何倍になるかをγ(ガンマ)と表して計算します。

地上から見ると、電車の中の時間は地上の時間のγ倍なるということです。γは1より大きいので、電車の中が遅れていますね。しかし電車の中から見ても同じ計算で、地上の時間は電車の中の時間のγ倍になります。

動いていると空間が縮む?

今度は光時計を横に倒して、左右に光が動くようにしてみます。さっきと同じで電車は右向きに速度vで進んでいきます。

地上から地上の光時計を見ると一往復する時間はさっきと同じ距離÷時間です。
一方、地上から見て電車の中の光時計が一往復する時間は右に進む時間t1左に進む時間t2から求めます。このとき光時計の長さはL’とします。よって地上から見て電車の中の光時計が一往復する時間t’は
電車の中の距離は地上の距離の何倍になるかというと

地上から見ると、電車の中の距離は地上の時距離の1/γ倍になるということです。1/γは1より小さいので、電車の中は縮んでいますね。逆に電車の中から見ても、地上の時間は電車の中の時間の1/γ倍になります。

(参考: http://www.geocities.jp/hp_yamakatsu/lorentz.html

γってどれくらい?

数式で出てきても実際どれくらい時空が歪むのかわかりません。そこでいろいろな乗り物に乗って1秒遅れるのにどれくらいかかるか調べました。その結果、高速道路の自動車で7百万年、リニアモーターカーで7万年、宇宙ステーションの公転の速度で動いてやっと96年でした。これでは日常生活で気づかなくても仕方がありませんね。

4つ目の次元は時間?

ここまでは時間と空間を分けて考えてきましたが、相対性理論でよく聞くのは「縦、横、高さ、時間の四次元」という話です。時間と空間が歪むのは計算できましたが、なぜ時間を4つ目の次元にしたのでしょうか。

三平方の定理から、右にxメートル、前にyメートル、上にzメートルまでの距離の二乗は

と表せます。これは自分が回転して前の方向が変わっても同じ式で計算できます。つまり、誰から見ても同じ距離なんです。もし四次元があるなら、誰から見ても同じ四次元の距離の二乗は

と表せるはずです。それが時間なのか計算してみましょう。

止まっているAさんが時刻tに位置xを指したとします。それが速度vで動いているBさんから見て時刻t’に位置xを指しているように見えました。これはBさんが止まっていてAさんが-vで動いているようにも見えるはずです。これをさっきのγを考慮して式で表すとこうなります。上の式を下の式に代入してtについて解くととなります。長くなるので計算は省略しますが、xの式とtの式を次の式の左辺に代入すると、右辺になります。

この式は三平方の定理に似ていますね。y=z=0のとき、二乗すると‐1になるような虚数単位iを使ってw=ictとおけば四次元の三平方の定理の式と同じです(虚数は高校で習います)。だから4つ目の次元は時間と言うんです。

光速を超えると過去へ行ける?光速は超えられない?

「過去へ行くには光速を超えればいい」というのも聞いたことがあると思います。これも相対性理論からわかることなのですが、速度が光速を超えてしまうとγのルートの中がマイナスになってしまいます。つまりこれまで説明してきたことに工夫をしなければ光速を越えた時の話をすることができません。詳しいことは義務教育以上の数学と物理が必要なので別の記事に回しますが、ここでは簡単に説明しましょう。

速度は距離÷時間で、この値の上限は光速でした。しかし、四次元時空ということは空間と時間を入れ替えても同じ理論が出来上がるはずです。つまり時間÷距離の上限が光速の逆数であるもう一つの相対性理論です。言い換えれば速度が光速より低くならないことになるので私たちには当てはまらない理論ですが、もしこの理論に当てはまる理論があったらどうなるのか考えることはできます。その物質こそ過去に進む超光速粒子、タキオンです。

物理的タイムリープの可能性

光速を超えればとか、時空を歪ませればとか、仮説はいろいろありますが未だにタイムマシンやタイムリープマシン、過去への通信などは実現していないのが現状です。欲しいのであれば自分で作るしかありません。完成すれば過去に戻れるのだから、いつから作り始めてもいいんです。一緒に時空について考えてみませんか?

量子論についてはこちら

『中学生でもわかる相対性理論!』へのコメント

  1. 名前:FREEDOMFREEDOM 投稿日:2017/10/11(水) 02:17:45 ID:33a82dc2d 返信

    中学生でも分かる!という訳では無いけど、とても良い記事だったよ

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